Öklid yanlış olabilir mi?

öklid1
Öklid, Öğeler, 1. Kitap, 1. Önerme’nin figürü.

Bu yazı, Öklid’in 1. Kitap, 1. Önermesinde kesişen iki dairenin, 19. yüzyılda tanımlanan devamlılık ilkesine göre, kesişip kesişmeyeceğinin bilinemeyeceği için “Öklid yanlış” diyen resmi matematik görüşüne karşı bir yazıdır.

***

19. yüzyıla kadar matematikçiler Öklid’in aksiyomlarını “kendiliğinden doğru gerçekler” olarak algılamışlardır. 19. yüzyılda yeni aksiyomlar tanımlayarak yeni geometriler tanımlayabileceklerine uyanınca bu sefer yeni geometrilerin doğru Öklid’in yanlış olduğunu iddia etmişlerdir. Ama Öklid’in aksiyomları “kendiliğinden doğru gerçekler” değildir; sadece ve sadece Öklid’in işine geldiği gibi yaptığı tanımlamalardır. Her isteyen yeni tanımlamalar yapıp yeni geometriler uydurabilir. Önemli olan bir geometrinin kendi içinde tutarlı olmasıdır. Doğru veya yanlış geometri yoktur. Bütün geometriler temel bir tanımlama üstüne oturur ve hepsi de kendi içinde tutarlı ve kendi alanlarında geçerlidirler.

Öklid de kendi alanı içinde geçerlidir. 19. yüzyıl devamlılık kavramları Öklid geometrisinin alanına girmez.

Matematikçilerin, Öklid’in tanımladığı aksiyomların yanlış ve eksik olduğunu iddia edip yeni ve gelişmiş son model aksiyomlar tanımlamaları, aksiyomun herhangi bir tanımlamadan başka bir şey olmadığını anlamadıklarını gösterir. Başka bir deyişle, aksiyom bir tanımlamadır ve matematikçiler bunu tam anlayamamışlardır. Aksiyomların gerçeği yansıttığını zannetmişlerdir. Tam tersine, aksiyom bizim için gerçeği tanımlar.

Aksiyomun bir tanımlamadan başka bir şey olmadığını anlamakta zorluk çeken matematikçilerden biri de David Hilbert idi. Hilbert’in son model aksiyomları kendisinin uygun gördüğü yeni tanımlamalardır. Öklid’i bağlamaz. Yeni model aksiyom derken alaycı olmak değil amacım, matematikçilerin bir aksiyomun tanımlama olduğunu ve eskisi yenisi veya doğrusu yanlışı olmadığını ve daha iyisi daha kötüsü olamayacağını anlatmak istemiştim.

Günümüzde bile, Öklid aksiyomlarının yanlış veya eksik olduğunu söyleyen matematikçiler olabiliyor. Hilbert’ten beri bu matematiğin resmi görüşü olarak tekrarlanıp durur. Yazının devamı matematikçi E. Mehmet Kıral’ın bu konudaki paylaşımı hakkında olacak.

 

kıral-twit

Matematikçiler matematik dallarının devamlı bir bütün meydana getirdiğini varsayarlar. Bu varsayıma göre, Öklid geometrisi ile mesela 19. yüzyıl matematiği kopuksuz ve aralıksız bir bütün teşkil eder. Matematiğin bütünlüğüne inanmak demek, matematiğin içinde tanımlanmış olan hiçbir aksiyomun diğer bir aksiyomla çelişmediğine inanmak demektir. Ama bunun doğru olmadığını biliyoruz. Yani, genel olarak, A geometrisinin aksiyomları kullanılarak B geometrisinin aksiyomlarının yanlış olduğu söylenemez.

matematik-agac
Her dal ayrı bir ağaç olmalı.

Öyleyse, matematik dalları kendi aksiyomları olan bağımsız alanlardır. Her bölüme kendi içinde tutarlı bir karakutu olarak bakabiliriz. Bu karakutulardan ne dışarı bir aksiyom sızar ne de dışardan bir aksiyom içeri girer. Matematik dalları, matematik ağacının dalları değil, her biri bir ağaçtır.

O zaman neden matematikçiler 19. yüzyılda geliştirilmiş bir “devamlılık” kavramını kullanarak Öklid’in yanlış olduğunu söyleyebiliyorlar? Mesela, bir matematikçi, 1950 model bir arabayı inceledikten sonra “bu arabanın GPS sistemi ile uyumu yok, bu araba yanlış” diye bir hüküm verse bu sözü ciddiye alabilir miyiz? Peki bir matematikçi, bir at arabasına bakıp “bu araba yanlış çünkü motoru yok” dese o matematikçinin doğru ve yanlış kelimelerinin anlamı hakkında doğru bilgisi olmadığını anlarız, öyle değil mi? O zaman neden bir matematikçi, Öklid geometrisini 19. yüzyıl kavramları ile mukayese edip onun yanlış bir geometri olduğunu söyleyebiliyor? Bu matematikçinin de yanlış kelimesine kabul edilmiş anlamı dışında bir anlam yüklediğini görüyoruz.

topoloji
Topolojide kupa ile donat aynıdır. Öklid’te değildir.

Topoloji aksiyomlarını kullanarak Öklid’in aksiyomlarının yanlış olduğunu söylemek yanlış bir tutum olurdu. Öklid’i ondan sonra geliştirilmiş matematikle eleştiremezsiniz. Öklid kendi içinde tutarlıdır. Bir geometri kendi tanımlamaları içinde istikrarlı ise, dışardan aksiyomlar taşıyarak o geometrinin eksik veya yanlış olduğunu söyleyemeyiz. Öklid’i sadece kendi içinde tutarsızlıkları varsa eleştirebiliriz.

Konumuz olan 1. Kitabın 1. Önermesi için gerekli bütün tanımları Öklid önceden yapmış. Mesela, bu önerme için çizgi çizmemiz gerektiği için Öklid 1. Postülat ile çizgi çizmenin mümkün olduğunu farzetmiş:

[Postulat olarak] rica edilmiş olsun: [1] herhangi bir noktadan herhangi bir noktaya bir doğru çizgi iletilmesi.

Bu tanımlamaya göre çizginin devamlı olmak veya olmamak gibi bir özelliği yoktur.

Öklid’in çizgi kavramı bir tanımlamadır. Öklid “bir noktadan bir noktaya çizgi çizmeyi farzediyorum” diyor ve bunu bir tanımlama ile resmi olarak kayda geçiriyor. Çizgiyi de 2. Hudut olarak tanımlamış:

Ve bir çizgi, genişliksiz uzunluktur.

Genişliksiz uzunluk ne demek? Genişliksiz uzunluk diye bir şey gerçek hayatta yok. Öklid soyut bir matematik tanım yapmış; Öklid çizgiyi genişliği olmayan bir uzunluk olarak absürd bir şekilde tanımlamış çünkü işine öyle gelmiş.

Konumuz olan 1. Önerme bağlamında 19. yüzyıl matematikçileri Öklid’i eleştirmişler. Öklid’in çizdiği iki dairenin bir noktada kesişeceğini garanti altına almak için bir aksiyom tanımlaması gerekirmiş. Yani 19. yüzyıl mantığına göre Öklid’in iki dairesinin kesişmeme imkanı varmış.

Kesişme ne demek önce ona bakalım. Öklid’e göre çizgi soyut bir şey, salt uzunluk, başka bir özelliği yok. Bu sebepten Öklid’in çizgileri kesişebiliyor. Çizgi cisim değildir. Gerçek dünyada kesişme diye bir şey yoktur çünkü gerçek dünyada soyutlamalar değil cisimler vardır. Cisimler ise kesişmez. İki çıtayı bir X şeklinde ancak üst üste koyabiliriz, iki ayrı parça olarak kalıp kesişemezler. Öklid’i devamlılık üzerinden eleştirenler önce Öklid’te kesişme nedir onu anlamaları gerekirdi.

Öklid’in çizgi tanımından başka çizgi tanımları yapılabilir. Galileo bir çizginin noktalardan mı meydana geldiğini yoksa hareket eden bir nokta mı olduğunu sormuştur? Bir çizgi sonsuz olarak bölünebilir mi diye de sormuştur. Bu gibi soruların Öklid geometrisi içinde bir anlamı yoktur. Zaten Galileo da Öklid’in çizgi tanımlamasından değişik çizgi tanımlamaları yaptığı için “Öklid yanlıştır” dememiştir.

Öklid’in kendi geometrisi içinde çizgi, ne noktalardan meydana gelmiştir ne de hareket eden bir noktadır. Kalkül kavramlarını ihtiva etmiyor diye Öklid’in yanlış olduğunu söylemek ona haksızlık olurdu. Öklid geometrisini koordinat geometrisine uygulayıp “Öklid yanlıştır” demek de doğru bir tutum değildir. Her geometri kendi içinde doğrudur.

1. Önermede daire çizmemiz gerektiği için de Öklid, 3. Postülat’ta daire çizebileceğimizi varsayıyor.

[Postulat olarak] rica edilmiş olsun: [3] Ve her merkez ve uzunluğa bir daire çizmek

Bu basit ve güzel daire tanımlamasının da devamlılık kavramı ile bir ilgisi yok.

Daireyi, bir merkezden eşit uzaklıkta olan noktalar olarak tanımlıyor. Bu da devamlılık kavramından bağımsız bir tanımlamadır.

1. Önerme için sadece 1. ve 3. Postülatlar gerekiyor. Öklid de zaten bu iki postülatı vermiş. 1. Önerme için dışardan aksiyomlar getirip iki dairenin kesişmeyeceği gibi bir ihtimali incelememiz gerekmiyor. At arabası at arabasıdır ve otomobille mukayese edildiğinde yanlış değildir. Öklid Ökliddir ve 19. yüzyıl kavramları ile mukayese edildiğinde yanlış değildir.


Notlar:

— Öklid’in Öğeler’inden alıntılar Öğeler’in Özer Öztürk & David Pierce tarafından yapılan çevirisinden alınmıştır. Öğelerin 13 Kitabından Birinci Kitap.

— 19. yüzyıl devamlılık ilkesini Öklid’e uygulanmasını anlatan tipik bir yazı: Proofs, Pictures, and Euclid, John Mumma May 2007

“The general observation here, if accepted, is fatal to the legitimacy of Euclid’s diagrammatic proofs. Again and again, Euclid takes intersection points to exist because they appear in his diagrams. Indeed, he does this right away in proposition I,1 when he introduces the intersection point of two constructed circles. The only thing Euclid offers as justification is a diagram where two circles cross. Nowhere do we find the articulation of a continuity principle which by modern standards seems necessary to secure the point’s existence.”

— David Hilbert tanımlamalarını Geometrinin Temelleri diye iddialı bir şekilde sunmayı tercih etmiştir. David Hilbert, The Foundations of Geometry.

— Aksiyomları çelişen matematik alanlarının birbirlerinin aksiyomlarını kullanarak yanlışlanamayacaklarını göstermek için başka bir örnek: Komütativ cebir, cebirin komütativ olduğu aksiyomuna dayanır. Komütativ olmayan cebir de, cebirin komütativ olmadığı aksiyomuna dayanır. Bu iki aksiyom birbirleri ile çelişir ama hiçbir matematikçi “komütativ cebir doğrudur, komütativ olmayan cebir yanlıştır” (veya tersi) gibi bir hüküm veremez.

Felsefe ve matematik

Raphael
Raphael’in o zamana kadar bilinen markalaşmış filozofları aynı karede birleştirdiği resim. Hedef Avrupa’nın entellektüel köklerinin klasik Atina’da olduğunu göstermek. Medeniyetin Atinada başladığının propagandasını yapmak.

Geleneksel felsefe konuları vardır. Varoluşun nedenini araştırmak da bu konulardan biridir. Varoluş neden var? Bu nedeni biz insanlar anlayabilir miyiz? Eğer varoluşun özünde temel bir formül varsa biz bu formülü bulmak için hangi yöntemleri uygulamalıyız? Ölçmeye dayalı bilimsel yöntem varoluşun bu gizli formülünü bulmaya yeterli olabilir mi? Yoksa yeni yöntemler mi bulmamız gerekiyor?

Felsefe konularını direk olarak doğaya sorarak yani deneyler yaparak araştırabiliriz. Deney yapmadan sadece akıl yolu ile de araştırmalar yapabiliriz. Bir de diğer araştırmacı filozoflarla konuşarak ve tartışarak sorumuzun cevabını bulmaya çalışabiliriz.

Ben burada bu en sonuncu yönteme, yani diğer filozoflarla tartışma işine bakmak istiyorum.

Keşke bu tip felsefi tartışmalar da matematikteki gibi herkesin üzerinde anlaştığı standart bir işaret sistemi ile yapılabilseydi. Ama böyle bir işaret sistemi yok.

Bu konuda biraz düşününce bazı şeyler dikkatimi çekti. Felsefi konularda tartışan herkes, işaret olarak kullanılan harflerin anlamı hakkında hemfikir olduğu halde, bu harflerin meydana getirdiği kelimelerin anlamı hakkında bir fikir birliği yok. Onun için felsefi bir konuda tartışan iki insan her zaman kelimelerin anlamları hakkında anlaşmazlığa düşerler. İki taraf da tartışmada kullanılan kelimelere kendi inandığı veya bildiği anlamlar verir ve diğerinin verdiği anlamları red eder. Ve felsefi tartışmalar tanımlama savaşlarına dönüşür.

***

Matematikde “2” veya “+” gibi işaretlerin kesin ve net bir anlamı olduğu halde, felsefede temel kavramlardan biri olan “evren” kelimesinin bile herkesin kabul ettiği kesin ve tek bir anlamı yoktur. Belki kelimelerin anlamlarını resmi olarak belirleyen bir yüksek kurumun varlığına ihtiyacımız var. Felsefi Kelimeler Tanımlama ve Koruma Kurumu, gibi. Bu kurum kelimeleri dil bilgisi açısından değil de felsefede kullanılmak üzere sabitleyecektir. O zaman belki de anlamları kesin ve net olarak belirlenmiş “evren1, evren2, evren3,… evrenN“, gibi evren kelimesinin bütün anlam inceliklerini belirleyen felsefi kelimeler olacaktır. Mesela, eğer “Evren1=evrenin tümü” ve “Evren2= gözlemlenen evren”, olarak tanımlanmışsa kimse çıkıp Big Bang’ın Evren1‘in başlangıcı olduğunu iddia edemeyecektir. Çünkü Big Bang denen yaratılış masalının gözlemsel temeli sadece Evren2 içindir. Zaten tek bir Big Bang masalı yoktur. Bir fizikçi “Big Bang Teorisi” dediğinde aslında içinde bir çok Big Bang senaryolarını barındıran bir kozmoloji markasından bahsediyordur. Çeşitli Bing Bang masallarını da, “BigBang1, BigBang2, BigBang3, … BigBangN” gibi çok çeşitli ve çoğu birbirleri ile çelişkili Big Bang modellerine ayırabiliriz. O zaman, eğer kürsüye çıkıp Big Bang konusunda masallar anlatmaya başlayan bir fizikçiye rastlarsak, ona “sen hangi Big Bang’den bahsediyorsun? Açıkça belirt,” diyebiliriz.

***

Her kelimeyi önceden tanımlayarak ve kelimelerin tanımlamalarında anlaşarak ancak felsefi bir tartışmada bir anlaşma sağlayabiliriz.

Her felsefi tartışma matematikte olduğu gibi, kullanılan işaretlerin bir tanımlaması ile başlamalıdır. Ve tartışmacılar bu tanımlamaları onaylamalıdır.

Ayrıca, felsefede kullanılan kelimelerin birçoğu da eşanlamlı kelimelerdir. Bu kelimeler de sanki aralarında anlam farkı varmış gibi kullanılır. “Dünya” ve “Evren” eşanlamlı kelimelere bir örnek olabilir.

Bir de anlamsız kelimeler vardır. Bazı kelimelerin o kadar çok anlamı olabiliyor ki artık anlamsızlaşıyorlar. Asırlar boyu aynı kelimenin harfleri değişmediği halde kelimeye yeni anlamlar yükleniyor. Evren kelimesi bu tip anlam belirsizliğine de örnek olabilir.

Fakat epistemoloji açısından durum daha da vahim. Bütün dünya bilginleri bir cümlenin anlamı hakkında fikir birliğine varsa bile, bu o fikrin doğru olduğunu göstermez. Karşımıza çıkan ve bulduğumuz bir açıklamanın evrensel ve nihai bir açıklama olduğunu nasıl bilebiliriz? Bilemeyiz.

Notlar:

Raphael’in resmindeki filozofların listesi.

Kalpazan Newton: Hem suçlu, hem güçlü

Aşağıdaki yazıyı 5 sene önce yazmışım. Densytics adlı kitabımın özeti gibi bir şey.

1.

Newton’un kalpazanlığı pek bilinmez. Darphanede müdürlük yaparken yakalayıp darağacına yolladığı para kalpazanlarından daha kalpazandı Newton.

Newton’un suçu sahte para basmak değil; Newton’un suçu, sahte bir “güç” tanımlayıp, gerçek diye pazarlamak; sahte bir “dünya sistemi” kurup bütün insanlığa gerçek dünya diye satmaktır.

Newton’un bilim düşmanı bir kalpazan, akademik tarikat şeyhi, ve sahte dünya pazarlayıcısı olduğunu insanlara anlatabilmek biraz zor; Newton efsanesini delmek kolay değil.

“Kalpazan Newton: Hem suçlu, hem güçlü” yazısını okumaya devam et